0 引言

【研究意义】三叉晶界是三条晶界相遇时形成的线缺陷，具有不同于晶界的独特热力学和动力学性质^[1]。三叉晶界作为新相形核、空洞和腐蚀的首选位置以及溶质原子扩散的有利通道^[2]，在晶粒长大及塑性变形过程中起重要作用。因此研究三叉晶界的迁移过程及其影响因素具有重要意义。【前人研究进展】目前，已有学者对三叉晶界迁移进行实验研究。1998年，Czubayko等^[3]利用电子背散射衍射(EBSD)原位观察金属锌(Zn)的三叉晶界运动过程，并观察到三叉晶界迁移动力学向晶界迁移动力学的转变。2001年，Protasova等^[4]研究发现金属铝(Al)中三叉晶界的缓慢移动能够控制晶界系统的运动。2005年，Mattissen等^[5]利用扫描电镜(SEM)原位研究Al中三叉晶界对晶粒长大动力学的影响，发现三叉晶界对晶界运动和晶粒长大动力学均有显著影响。2017年，尹文红等^[6]采用EBSD技术研究不同变形量高纯Al退火后三叉晶界及晶界的迁移行为。结果表明，三叉晶界及其晶界的迁移量随着变形量的增加而增大，且三叉晶界的迁移距离比晶界的小。但上述研究尚未达到原子尺度。由于晶界通常只有几个原子层厚，难以通过实验直接原位观测，因此计算机模拟已经成为研究该问题的重要方法。在三叉晶界的原子尺度模拟方面，分子动力学(Molecular Dynamics，MD)是常用方法之一。1999年，Upmanyu等^[7]利用MD研究了单个三叉晶界的迁移过程，结果表明动态三叉晶界角度与晶粒尺寸和晶界取向差有关。2009年，Frolov等^[1]采用MD模拟了三叉晶界的自扩散过程，研究表明三叉晶界扩散比晶界扩散更快。2014年，Trautt和Mishin^[8]采用MD研究了三晶系统中晶界运动和晶粒旋转现象，结果表明三叉晶界不能阻止晶粒旋转，但可以显著减缓旋转过程。【本研究切入点】尽管MD在材料的原子尺度模拟方面取得了很多进展^[9]，但该方法主要适用于原子振动的时间尺度(10^-14~10^-12 s)，难以扩展到原子扩散的时间尺度(10^-6 s)。2002年，Elder等^[10]基于经典密度泛函理论(CDFT)提出的晶体相场(Phase Field Crystal，PFC)模型克服了MD的上述缺点，不仅能够在原子空间尺度和扩散时间尺度上研究材料微观结构演化，还能够自洽地耦合弹性能和各向异性等特征^[11]。因此，PFC模型自提出以来得到了广泛应用和发展，已被用于研究晶体形核^[12]、准晶生长^[13]、动态回复^[14]、裂纹扩展^[15-17]和金属互连电迁移^[18-19]等现象。目前，虽然已有学者利用PFC方法研究了将一个圆形晶粒嵌入双晶系统中圆形晶粒的收缩过程，以及三叉晶界处位错的反应及应变^[20-21]。但利用PFC方法研究恒定曲率条件下三叉晶界的迁移过程，还未见报道。【拟解决的关键问题】本研究采用PFC方法研究包含一个环形晶粒的三晶系统中三叉晶界的迁移过程，探究晶界曲率对三叉晶界迁移的影响。

1 模型与方法 1.1 PFC模型

PFC模型采用具有周期结构特征的局域原子密度作为序参量。在固液系统中，无量纲的自由能函数F可以构造为^[11]

$ F{\rm{ = }}\int {\left\{ {\frac{\psi }{2}\left[{\gamma {\rm{ + }}{{\left( {1{\rm{ + }}{\nabla ^2}} \right)}^2}} \right]\psi {\rm{ + }}\frac{{{\psi ^4}}}{4}} \right\}{\rm{d}}r}, $

(1)

式中，γ为与温度相关的唯象参数；∇²为Laplace算符；ψ为原子密度，其通用形式可表示为^[11]

$ \psi \left( {r, t} \right) = \sum\limits_{n, m} {{a_{n, m}}{e^{i{{\vec G}_{n, m}} \cdot \vec r}}} + {\psi _0}, $

(2)

式中，右边第1项反映晶格原子的周期结构特征，第2项ψ₀为平均原子密度，反映液相的原子均匀无序特征；$\vec r $为空间位置矢量；t为时间；a_{n, m}为Fourier系数；${\vec G_{n, m}} = n{\vec b_1} + m{\vec b_2} $，其中${\vec b_1} $和${\vec b_2} $为倒格子基矢。对于二维三角格子(三角相)，${\vec b_1} $和${\vec b_2} $可以表示为

$ {\vec b_1} = \frac{{2\pi }}{{{r_0}\sqrt 3 /2}}\left( {\sqrt 3 /2\hat x + \hat y/2} \right), {\vec b_2} = \frac{{2\pi }}{{{r_0}\sqrt 3 /2}}\hat y, $

(3)

式中，r₀为最近邻原子间距，${\hat x} $和${\hat y} $分别表示x方向和y方向的单位矢量。

二维情况下，三角相的原子密度ψ的表达式为^[11]

$ \begin{array}{l} \psi = A\left[{\cos \left( {{q_t}x} \right)\cos \left( {{q_t}y/\sqrt 3 } \right)-} \right.\\ \left. {\cos \left( {2{q_t}y/\sqrt 3 } \right)/2} \right] + {\psi _0}, \end{array} $

(4)

式中，A为反映原子密度周期结构的振幅；q_t为波数，满足q_t=2π/r₀。将(4)式代入(1)式，并对A和q_t分别求导，求出自由能密度函数的极值，便可求得A和q_t的值^[11]

$ A = 4/15\left( {3{\psi _0} + \sqrt {-15\gamma-36\psi _0^2} } \right), {q_t} = \sqrt 3 /2, $

(5)

1.2 动力学方程

原子密度ψ是一个保守场变量，其随时间演化用Cahn-Hilliard动力学方程描述^[11]

$ \begin{array}{l} \frac{{\partial \psi }}{{\partial t}} = {\nabla ^2}\frac{{\delta F}}{{\delta \psi }} + \zeta = {\nabla ^2}\left\{ {{\psi ^3} + \left[{\gamma + \left( {1 + } \right.} \right.} \right.\\ \left. {\left. {{{\left. {{\nabla ^2}} \right)}^2}} \right]\psi } \right\} + \zeta, \end{array} $

(6)

式中，ζ为满足两点相关性的Gauss噪声。在本研究中不考虑噪声的作用。

为提高计算效率，可采用半隐式Fourier谱方法^[22]求解动力学方程，可得

$ {\hat \psi _{n + 1}} = \frac{{{{\hat \psi }_n}- {k^2}\Delta t\hat \psi _n^3}}{{1 + {k^2}\Delta t\left[{\gamma + {{\left( {1-{k^2}} \right)}^2}} \right]}}, $

(7)

式中，${\hat \psi _{n + 1}} $为Fourier空间中第n+1步的原子密度，${\hat \psi _{n + 1}} = \int {{\psi _{n + 1}}{e^{-i\vec k \cdot \vec r}}} {\rm{d}}r $；$\vec k $为Fourier空间的波矢，满足${k^2} = {\left| {\vec k} \right|^2} $。

1.3 参数设置

图 1中将一个环形晶粒(晶粒a)嵌入到双晶(晶粒b₁和b₂)系统中，组成一个三晶系统。晶粒a、b₁和b₂三者相交形成三叉点，其中晶粒a的宽度为w，其顶部的晶界曲率为κ(κ=2/w)。计算时将连续空间离散为四方网格，计算区域网格为L_x△x×L_y△y，取空间步长△x=△y=π/4，时间步长Δt=0.5，时间步用ts表示。具体参数设置：采用三角相表征晶体相，选取(ψ₀, γ)=(0.21, -0.12)；尺寸L_x×L_y为800×1 600，晶粒a、b₁和b₂的取向角度分别为0°、22.5°和-22.5°。晶粒a与晶粒b₁、b₂之间的晶界(GBⅡ和GBⅢ)为非对称倾侧晶界，取向差分别为±22.5°；晶粒b₁和b₂之间的晶界(GBⅠ)为对称倾侧晶界，取向差为45°。

为了清晰地显示三叉晶界的迁移过程，重点对图 1b所示区域进行观测，其尺寸为400×600，约3.23×10³个原子。从图 1b可见，晶界Ⅰ(GBⅠ)是一条平直晶界，晶界Ⅱ(GBⅡ)和晶界Ⅲ(GBⅢ)都是由一段弧形晶界和平直晶界组成。

2 结果与分析 2.1 三叉晶界迁移过程

图 2为环形晶粒宽度w=14r₀时三叉晶界的迁移过程。由图 2可见，在演化初期环形晶粒顶部的晶界曲率发生了部分变化(图 2a和b)，之后晶界曲率保持稳定(图 2b~d)。这是因为初态的三叉晶界为不稳定状态(相邻晶界夹角不为120°)，当相邻晶界夹角达到120°的稳态时，三叉晶界形状保持稳定。由于环形晶界曲率的驱动作用，环形晶粒顶部的弧形晶界不断向其曲率中心收缩(图 2a~d)，直至三叉晶界消失，变成一条平直晶界(图 2e)。在整个演化过程中，晶界Ⅱ和晶界Ⅲ中平直晶界始终保持平直，说明三叉晶界迁移具有自相似性。从图 2还可见，3个晶粒的取向角度在演化过程中均保持不变，表明晶粒均未发生旋转。

2.2 三叉晶界拖曳效应

为了研究三叉晶界对晶界运动的影响，将图 1中晶粒b₁和b₂的取向角度取相同值(都为22.5°)，则系统变为双晶系统(无三叉晶界)。双晶和三晶系统的晶界运动分别为晶界迁移和三叉晶界迁移。在相同条件下，双晶和三晶系统中环形晶粒面积A与演化时间t的关系曲线(A-t曲线)如图 3所示。可见，两种情况下A-t曲线均线性下降，其中三晶系统的下降速度明显小于双晶系统，可见前者的晶界迁移速率明显低于后者。这说明了三叉晶界对晶界迁移具有拖拽作用，与Czubayko等^[3]和尹文红等^[6]的实验结果吻合。

为了研究环形晶粒宽度w对三叉晶界拖曳作用的影响，环形晶粒宽度设为8r₀≤w≤26r₀，并计算A-t曲线的斜率，统计结果如图 4所示。图 4中纵坐标σ=k_tj/k_gb，其中k_tj和k_gb分别为三晶和双晶系统中A-t曲线的斜率。从图 4可见，w取不同值时，比值σ均小于1，且随着宽度w的增加，σ值不断减小。说明环形晶粒尺寸越大(晶界曲率越小)，曲率驱动晶界迁移的速率越小，三叉晶界的拖拽作用就越明显。

2.3 晶界曲率的影响

为了研究三叉晶界曲率对晶界迁移的影响，环形晶粒宽度设为8r₀≤w≤26r₀。从图 5a可见，随着环形晶粒宽度的增加，三叉晶界迁移速率不断减小。这是由于环形晶粒宽度越大，晶界迁移的驱动力就越小，导致晶界迁移越慢。由图 5b可见，随着晶界曲率k的增加，三叉晶界迁移速率v_tj近似呈线性增加，表明三叉晶界迁移速率与晶界曲率成正比。该结果与经典晶界迁移理论^[23]吻合。

3 结论

本研究采用PFC方法研究了将一个环形晶粒嵌入到双晶系统中三叉晶界的迁移过程，讨论了晶界曲率对三叉晶界迁移的影响。得到如下结论：1)在演化过程中，三叉晶界迁移具有自相似性，未发生晶粒旋转现象。2)晶界曲率影响三叉晶界迁移速率，并且两者成正比关系。3)三叉晶界对晶界迁移有拖曳作用，晶界曲率越小，三叉晶界的拖拽作用越明显。